L’histoire des mathématiques écrites en arabe entre les ixe–xive siècles est bien connue aujourd’hui, relativement à ce qu’il en était il y a à peine vingt ou trente ans, et malgré le nombre très important de textes non édités, dont les copies manuscrites dorment aux quatre coins du monde. Ce progrès est plus général, il concerne toute l’histoire des sciences. Roshdi Rashed – à qui l’on doit la part la plus importante de nos connaissances sur les mathématiques entre autres écrites en arabes – en vient à proposer, en introduction de D’Al-Khawārizmī à Descartes1, une méthodologie afin d’élever l’histoire des sciences au rang d’une discipline autonome entre épistémologie et histoire sociale. Pour Roshdi Rashed, reconstituer une œuvre de science nécessite de la reconstituer dans sa matérialité : traditions textuelles et/ou technique (qu’il appelle la tradition objectale), ainsi que dans les différentes traditions conceptuelles qui s’y croisent ; celles-ci se distinguant par une certaine stabilité et un style particulier qu’Alain Michel avait déjà appelé mathesis. Je présenterai ici un panorama général des premiers siècles de l’algèbre rédigée en arabe, structuré autour de quelques traditions conceptuelles qui traversent toute l’histoire des mathématiques ; en tâchant de donner quelques informations sur l’histoire matérielle des manuscrits qui portent ces textes et un aperçu succinct des contextes sociaux dans lesquels évoluaient ces mathématiciens. Ce panorama pêchera par le fait qu’il demeurera incomplet à deux titres : parce que je me limiterai à l’algèbre en traitant de façon sommaire de la géométrie et en délaissant la trigonométrie et les applications telles l’astronomie, l’optique, la statique, la musique… ; mais surtout parce que l’intelligence de ces textes nécessite de les lier en amont aux traditions grecques, perses, indiennes ou syriaques, qui s’y épanouissent ; et en aval, aux traditions latines et dans les langues vernaculaires européennes dans lesquelles la science classique forgée dans les textes arabes se déploiera. Je tenterai tout de même de donner un aperçu, sans doute insuffisant, de ces liens conceptuels et, lorsque je le peux, des liens matériels de traductions, circulation des livres etc. qui rendent possible les transmissions.

À partir de la fin du viiie siècle et durant le ixe siècle, notamment grāce à l’impulsion des califes Hārūn al-Rashīd (786–809) et al-Ma'mūn (813–833), la science arabe connaît un essor spectaculaire. Les acquisitions, les traductions et les commentaires d’ouvrages scientifiques et philosophiques, essentiellement grecs, mais également indiens, persans et syriaques, se multiplient, accompagnés de recherches originales qui y sont intimement liées. Bagdad offre alors un cadre qui permet de réunir les savants des différents horizons autour d’une expression commune en langue arabe2. Elle abrite la célèbre Bayt al-hikma, institution scientifique fondée autour de la bibliothèque du calife. Des scientifiques tels al-Khawārizmī et les frères Banū Mūsā y associent leurs noms, de même que, sans doute, le mathématicien et astronome al-`Abbās b. Sa`īd al-Jawharī. Suivant l’exemple d’al-Ma´mūn, des mécènes créent de semblables institutions. Les frères Banū Mūsā financent une expédition à Byzance pour y retrouver les textes qu’ils recherchent, en complément des manuscrits conservés dans l’ancien Empire byzantin, où le courant de la pensée grecque était encore actif au contact des autres cultures. Les Banū Mūsā réunissent autour d’eux d’autres savants, dont Hunayn b. Ishāq qui traduit, commente et compose des ouvrages de médecine et le grand Thābit b. Qurra dont l’œuvre est magistrale3. Nous sont parvenus également les exemples de ‘Alī b. Yahyā et d’al-Fath b. Khāqān qui créent chacun une bibliothèque – appelée Khizānat al-hikma – dans laquelle ils reçoivent des savants et leur versent une pension4. Ainsi, entre le viiie et le xe siècle, un intense mouvement de traductions des ouvrages philosophiques et scientifiques grecs fut mené, soit directement du grec vers l’arabe, soit par l’intermédiaire d’une autre traduction, le plus souvent syriaque. Ce mouvement de traductions a eu pour conséquence un développement de la langue arabe qui devint ainsi un support privilégié de la pensée pour l’activité intellectuelle de l’époque ; celle-ci englobait les cultures d’origines arabe, grecque, syriaque et pahlavi. En ce qui concerne les mathématiques, des travaux d’Euclide, d’Apollonius d’Alexandrie, d’Archimède, de Héron, de Ptolémée et de Diophante, parmi d’autres, furent traduits et commentés.

L’Algèbre d’al-Khawārizmī

Un savant du début ixe siècle, qui se trouvait à Bagdad, héritait d’une part d’une double tradition humaniste (on parlait alors de « sciences des arabes ») : celle des grammairiens qui avaient développé un travail abstrait et systématique sur la langue que les arabes leur avaient apportée de la péninsule ; et celle des juristes, qui débattaient, notamment, des fondements de la jurisprudence. Une nouvelle rationalité s’établissait5. Ce même savant héritait également des toutes récentes traductions des textes des anciens, particulièrement les traductions arabes des Éléments au sein de La Maison de la Sagesse (Bayt al-hikma) dans laquelle al-Khawārizmī rédigea son Algèbre6.

Un langage abstrait

L’algèbre, telle que l’élabore al-Khawārizmī dans le premier tiers du ixe siècle, apparaīt immédiatement comme un lieu d’interprétation des mathématiques « des anciens », un langage abstrait dans lequel peuvent être traduites constructions et propositions géométriques et arithmétiques. L’algèbre, agit alors comme un pont par lequel géométrie et arithmétique se rencontrent car ils s’y expriment dans une langue commune dont les constructions syntaxiques sont dénuées de sens propre.

Trois termes primitifs pour toutes les équations des deux premiers degrés

Al-Khawārizmī pose trois termes primitifs qui, par une combinatoire (en utilisant l’addition et l’égalité), permettent de construire six phrases : des équations algébriques des deux premiers degrés. Grāce à deux opérations de simplification des termes redondants (l’une s’appelle al-jabr, qui a donné « algèbre », l’autre al-muqābala), toute équation de degré inférieur ou égal à deux se ramène à l’une des six premières équations construites.

Une résolution algorithmique et des algorithmes démontrés

Pour chacune de ces six équations, al-Khawārizmī donne un algorithme permettant de trouver la ou les solutions positives, lorsqu’elles existent. Chaque algorithme est démontré par des techniques algébrico–géométriques, qui marque la première interprétation de ce langage abstrait dans le cadre de la géométrie. Ces démonstrations seront reprises plus tard de façon rigoureuse par Thābit b. Qurra (mort en 901) qui établira, en passant, l’équivalence entre la résolution algébrique et son interprétation géométrique à partir du Livre II des Éléments d’Euclide.

Quelques éléments de calcul algébrique
La mise en œuvre de cette algèbre nécessite d’établir quelques règles de calcul algébrique auxquelles al-Khawārizmī consacre un chapitre.

Des applications pratiques
La théorie ainsi établie dans toute sa généralité et démontrée sur le socle axiomatique de la géométrie euclidienne, al-Khawārizmī présente toute une série d’applications possibles qui s’organisent autour de problèmes de transactions, de mensurations et de testaments.

Les traditions issues de l’Algèbre d’al-Khawārizmī

Chacune des sections développées par al-Khawārizmī ouvrira la voie vers de nouvelles traditions algébriques. L’équivalence établie entre géométrie plane et théorie des équations permet la traduction des constructions géométriques du Livre X des Éléments d’Euclide dans le langage des équations et par ce biais l’extension du domaine des nombres aux grandeurs continues représentées par des quantités irrationnelles, qui sont soumises aux calculs algébriques, par, entre autres, al-Māhānī7 (ixe siècle), al-Khāzin (xe siècle), al-Ahwāzī8 (xe siècle)… C’est le début de la géométrie algébrique ainsi que de l’extension du domaine des nombres aux grandeurs continues. L’abstraction du langage algébrique permet également aux mathématiciens Qustā b. Lūqā (ixe-xe siècle) et Abū al-Wafā’ al-Būzjānī (xe siècle) de traduire dans le langage de l’Algèbre les Arithmétiques de Diophante d’Alexandrie, participant ainsi, avec Abū Kāmil (ixe siècle), à l’établissement de la double tradition des algèbres diophantiennes entière et rationnelle9. Ces traditions seront reprises par les algébristes et les arithméticiens pour connaītre des développements en latin, notamment grāce à Fibonacci, et encore en arabe jusqu’au xviie siècle grâce à al-Yazdī, avant de se continuer en Europe avec Fermat, puis Euler et Lagrange. La double traduction de problèmes géométriques solides, notamment de la Sphère et le Cylindre d’Archimède, en arabe et dans le langage algébrique, permet l’extension de la théorie des équations au troisième degré pour laquelle al-Māhānī et al-Khāzin ne donnent que des solutions particulières. Cette tradition conceptuelle sera reprise par les algébristes italiens Tartaglia, del Ferro, Cardano, etc. qui donneront la solution générale par radicaux des équations des quatre premiers degrés. La traduction des Coniques d’Apollonius10 permet à al-Khayyām (xie siècle) de construire des solutions géométriques, aux équations des troisièmes degrés, par le moyen d’intersections de courbes coniques représentées dans ce que nous appellerons plus tard, sous une forme légèrement différente, un repère cartésien11. C’est le début de l’algèbre géométrique. On retrouvera cette tradition chez Descartes, plusieurs siècles après, qui proposera alors une classification générale des courbes dans les deux catégories des courbes algébriques et transcendantes (qu’il appellera géométriques et mécaniques) ouvrant la voie à la géométrie algébrique moderne. Sharaf al-Dīn al-Tūsī (xiiie siècle) entamera l’étude infinitésimale afin de prouver par une approche locale l’intersection des courbes12.

Les travaux de géométrie algébrique sur les irrationnelles ainsi que ceux portant sur l’algèbre géométrique d’al-Khayyām nécessitent une réflexion sur ce qui fait la mesure d’une quantité irrationnelle ou d’une grandeur continue. Les relectures du Livre V des Éléments d’Euclide, par al-Jawharī, al-Māhānī, Thābit, al-Khayyām, al-Jayyānī, etc., permettront de résoudre la question en démontrant l’équivalence des deux définitions anthyphérétique et euclidienne par équimultiples13. Cette tradition, une fois passée en Europe, permettra notamment la construction des fractions continues dans des traditions qui recouperont celles issues de Diophante. Le croisement des traditions du calcul sur les irrationnelles à l’occasion de la traduction du Livre X des Éléments, avec le développement du calcul décimal de position, à partir du Livre du Calcul indien (autre texte d’al-Khawārizmī passé dans le monde latin sous le nom d’Algorisme, du nom de l’auteur) et des traditions de l’algèbre diophantienne, donne naissance à la fondation par al-Karajī (xie siècle, dans Al-Fakhrī14 et Al-Badī`15), suivi d’al-Samaw’al (xiie siècle, dans Al-Bāhir16), d’une nouvelle discipline algébrique17. Celle-ci se soucie moins de la résolution des équations que de l’élaboration d’une algèbre du calcul formel. Les polynômes en l’inconnue et son inverse y sont définis et les opérations de l’arithmétique leur sont étendues. Cette nouvelle algèbre émancipée de la géométrie avec laquelle elle a rompu ne repose plus sur le socle axiomatique euclidien qui permettait la démonstration hypothético-déductive. Al-Karajī discute dans Causes du Calcul algébrique et sa démonstration18 l’élaboration de fondements purement algébriques pour cette discipline dont l’objet est dorénavant les opérations, indépendamment des variables qui leur sont soumises. La tradition du calcul polynomial se retrouvera chez les algébristes de la période classique européenne, et je ne saurais dater le renouveau des travaux sur les fondements du calcul algébrique avant le xixe siècle et sa résolution dans le cadre des axiomatiques proposées entre la fin du xixe et le début du xxe siècle. Ce panorama des traditions algébriques arabes demeure partiel, il faudrait y intégrer encore d’autres traditions, notamment arithmétiques. Mais je souhaite qu’il soit suffisant, malgré son aspect sommaire, pour faire apercevoir comment une lecture de l’histoire des mathématiques en termes de traditions conceptuelles, portées par des traditions matérielles, offre un éclairage plus riche que la classique lecture – éclairante un temps – organisée autour de ruptures épistémologiques.

Et la géométrie ?
L’exemple de l’algèbre, qui permet d’appliquer différents domaines les uns aux autres, incita sans doutes les mathématiciens à établir également des ponts entre les différentes traditions géométriques, cette fois sans passer par le langage algébrique. La condition, réalisée, fut la réception simultanée, grāce à des traductions programmées, des ouvrages grecs : d’Euclide, Les Données, en plus des Éléments dont j’ai déjà parlé ; d’Archimède, La Mesure du Cercle, en plus de La Sphère et le Cylindre déjà citée ; bien entendu des Coniques d’Apollonius, mais aussi sa Section de Rapport, parmi d’autres textes et d’un ouvrage d’application de la géométrie : l’Almageste de Ptolémée.

Les auteurs et les écrits sont nombreux : par exemple, l’étude de l’heptagone régulier a donné lieu à une douzaine de traités, en moins de vingt ans, dont les auteurs sont al-Qūhī, al-Sāghānī, al-Sijzī19, Ibn Layth, Abū al-Jūd, Ibn al-Haytham, etc. La tradition archimédienne fut très féconde également20. Détailler plus avant comment le croisement de ces traditions en crée de nouvelles sortirait du cadre de cet article. Je dirai simplement qu’une refondation de la géométrie par Ibn al-Haytham fut nécessaire pour rendre compte d’objets nouveaux, la géométrie ne s’occupant plus seulement des figures, mais de la transformation de ces figures posées dorénavant dans un espace où le mouvement est pris en compte.

Références
1. Roshdi Rashed, D’Al-Khwārizmī à Descartes, Études sur l’histoire des mathématiques classiques, Hermann, 2011.
2. Roshdi Rashed, qui qualifie la seconde moitié du ixe siècle comme « l’un des moments les plus importants de l’histoire des mathématiques et des sciences », décrit comme suit la Bagdad de cette période :
Devenue le centre politique du monde d’alors, cette ville en était aussi le coeur
culturel, et de ce fait le pôle d’attraction de tous les talents. « Monter à Bagdad »
était un mot d’ordre des jeunes gens qui voulaient s’assurer une formation de
pointe grāce à une cité scientifique déjà bātie et à une communauté de savants
déjà installée, dont les liens avec le pouvoir étaient depuis longtemps tissés. Pour les moins jeunes, « monter à Bagdad », c’était rencontrer des émules, se forger une renommée et s’assurer une carrière.
3. Apollonius de Perge, Coniques, Livre I, volume 1.1 : « Commentaire historique et mathématique, édition et traduction du texte arabe & 1.2 : édition et traduction du texte grec », Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2008, Roshdi Rashed, Micheline Decorps-Foulquier, Michel Federspiel (eds) et Roshdi Rashed, Thābit ibn Qurra, Science and Philosophy in Ninth-Century Baghdad, Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2009.
4. Youssef Eche, Les Bibliothèques arabes publiques et semi-publiques en Mésopotamie, en Syrie et en Égypte auMoyen Âge, Institut Français de Damas, 1967.
5. Muhammad Ibn Mūsā al-Khwārizmī, Le commencement de l’algèbre, Sciences dans l’histoire. Librairie Scientifique et Technique Blanchard, Paris, 2007, texte établi, traduit et commenté par Roshdi Rashed et P. Abgrall & Qūhī. Le développement de la géométrie aux ixe–xie siècles : Abū Sahl al-Qūhī, Blanchard, coll. « Sciences dans l’histoire », Paris, 2004.
6. ibid.
7. Marouane Ben Miled, Les commentaires d’al-Māhānī et d’un anonyme du Livre X des Éléments d’Euclide, Arabic sciences and philosophy, Cambridge University Press, 9(1) :89–156, mars 1999.
8. Marouane Ben Miled, Opérer sur le Continu, traditions arabes du Livre X des Éléments d’Euclide, Histoire des Sciences, Académie tunisienne Beït al-Hikma, Carthage, 2005. Préface de Roshdi Rashed.
9. Diophante, Les Arithmétiques, Livre IV (tome III), Livres V-VII (tome IV), texte établi et traduit par Roshdi Rashed, Paris, 1984, .
10. Apollonius de Perge, Coniques, Livre V, volume 3, Walter de Gruyter, Berlin, New York, 2008. Commentaire historique et mathématique, édition et traduction du texte arabe, par Roshdi Rashed, Micheline Decorps-Foulquier, Michel Federspiel.
11. Roshdi Rashed and Bijan Vahabzade Al-Khayyām mathématicien, Blanchard, Paris, 1999.
12. Sharaf al-Dīn al-Tūsī, Œuvres mathématiques. Algèbre et géométrie au xiie siècle, Les Belles Lettres, Collection Sciences et Philosophies arabes, Textes et études, 2 vols., Paris, 1986. Texte établi et traduit par Roshdi Rashed.
13. « Bijan Vahabzadeh Al-Māhānī’s Commentary on the Concept of Ratio », in Arabic sciences and philosophy, Cambridge University Press, 12(1), 9–52, mars 2002 et Marouane Ben Miled, Mesurer le continu, dans la tradition arabe des Livre V et X des Éléments, Arabic sciences and philosophy, Cambridge University Press, 18(1) :1–18, mars 2008
14. al-Karajī, Al-Fakhrī, In Ahmad Salīm Sa´īdān (eds), Tārīkh `ilm al-jabr fī'l-`ālim al-`arabī, vol. I, p. 95–308, Kuwait, 1986.
15. al-Karagī, L’algèbre al-Badī`, nr. 36, 1 in Manuscrit de la Bibliothèque Vaticane Barberini Orientale, Beyrouth, 1964, édité par Adel Anbouba.
16. as-Samaw’al, Al-Bāhir en algèbre. Université de Damas, 1972, édition, notes et introduction par Salah Ahmad et Roshdi Rashed.
17. Marouane Ben Miled, « Les quantités irrationnelles dans l’œuvre d’al-Karajī », in Régis Morelon & Ahmad Hasnawi (dir.), De Zénon d’Élée à Poincaré, nr. 1, Peeters, coll. « Les cahiers du Mideo », 2004, p. 27–54 et Roshdi Rashed, Entre Arithmétique et Algèbre, Les Belles Lettres, Paris, 1984.
18. Encore inédit, un séminaire de lecture de ce texte est organisé une fois par mois à l’IMéRA.
19. Sijzī and Roshdi Rashed, Œuvre Mathematique D’al-Sijzī : géométrie des coniques et théorie des nombres au xe siècle, Peeters, coll. « Les cahiers du Mideo », 2004.
20. Roshdi Rashed, Les mathématiques infinitésimales du ixe au xie siècle. Al-Furqān, Londres, 1993–2006, 5 vols.