Les preuves mathématiques

Marouane ben Miled, résident de l'IMéRA, a constitué un groupe de travail sur "les preuves mathématiques vues par les mathématiciens" qui se réunira une fois par mois à l'IMéRA.

Première séance le 13 décembre 2011.

Deuxième séance le 6 janvier 2012.

Groupe de travail : Les preuves mathématiques vues par les mathématiciens.

Première année: Études de Justifications du Calcul algébrique, d'al-Karaji (Xe-XIe siècles).

Le mathématicien produit des résultats qu'il est amené à prouver. La preuve classique, euclidienne, est axiomatico-déductive. Les mathématiciens ont parfois respecté scrupuleusement cette conception de la preuve mais ils s'en sont également éloignés. Ce fut notamment le cas lorsque les fondements issus des Éléments d'Euclide n'ont plus été suffisants pour faire face aux progrès de l'algèbre et de l'analyse. Notre propos est de réunir logiciens, historiens et philosophes des mathématiques et mathématiciens, afin d'étudier des textes de mathématiciens qui portent un regard réflexif sur leurs travaux, particulièrement sur les preuves qu'ils donnent de leurs résultats. Nous commencerons par l'étude de la Justifications du Calcul algébrique (`ilal HisAb al-jabr), d'al-Karaji (Xe-XIe siècles). Al-Karaji est connu, entre autres, comme un refondateur de l'algèbre (voir les travaux de Roshdi Rashed à ce propos). De théorie des équations des deux premiers degrés, chez al-Khawarizmi, l'algèbre va connaître deux traditions parallèles durant les IXe-XIIIe siècles: alors qu'une première branche, qui s'épanouira avec al-Khayyam, classera et résoudra les équations des trois premiers degrés, en revenant à la géométrie; une seconde, dont al-Karaji est le plus important représentant avec al-Samaw'al, affranchira l'algèbre de ses fondements géométriques afin de considérer toutes les puissances de l'inconnue et de son inverse, puis les expressions polynomiales en la variable et son inverse afin de leur étendre les règles du calcul arithmétique. Dans cette seconde tradition, l'algèbre n'a plus pour objet les équations et leurs solutions, mais l'établissement d'un calcul formel. La correction de ces calculs ne pouvait pas être démontrée à partir d'un socle axiomatique puisque celui-ci était encore géométrique. C'est dans ce cadre qu'al-Karaji rédigera ce texte qu'il intitulera Justifications du Calcul algébrique (`ilal HisAb al-jabr). La Justification du Calcul algébrique est un texte disponible uniquement en manuscrit, bien entendu en arabe. Foued Nafti, doctorant à l’École nationale d'Ingénieurs de Tunis et en co-tutelle à l'Université d'Aix-Marseille (je le dirige avec Philippe Abgrall), en a entamé l'édition et la traduction. C'est à partir d'une première proposition de traduction que nous travaillerons.